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第1章 命题逻辑1

1.1 命题与联结词1

1.1.1 命题的基本概念1

1.1.2 命题分类及命题标识符2

1.1.3 命题联结词2

1.2 命题公式、翻译与真值表4

1.2.1 命题公式4

1.2.2 命题的符号化4

1.2.3 真值表5

1.3 公式分类与等价式6

1.3.1 公式分类6

1.3.2 等价公式（等值演算）6

1.3.3 基本等价式——命题定律7

1.3.4 代入规则和替换规则7

1.3.5 证明两个命题公式等价的方法8

1.4 对偶式与蕴涵式9

1.4.1 对偶式9

1.4.2 蕴涵式10

1.4.3 蕴涵式的证明方法11

1.5 联结词的扩充与全功能联结词组11

1.5.1 联结词的扩充11

1.5.2 与非、或非、异或的性质12

1.5.3 全功能联结词组13

1.6 公式标准型——范式13

1.6.1 简单合取式与简单析取式13

1.6.2 析取范式与合取范式13

1.6.3 范式的应用14

1.7 公式主范式15

1.7.1 主析取范式15

1.7.2 主合取范式17

1.7.3 主范式的应用19

1.8 命题逻辑的推理理论20

1.8.1 推理规则20

1.8.2 推理定律21

1.8.3 判断有效结论的常用方法21

1.9 典型例题分析24

1.10 上机实验28

习题29

第2章 谓词逻辑33

2.1 基本概念33

2.1.1 个体、谓词和命题的谓词形式33

2.1.2 量词34

2.2 谓词公式与翻译35

2.2.1 谓词公式35

2.2.2 谓词逻辑的翻译36

2.3 自由变元和约束变元36

2.4 谓词公式的解释与分类37

2.4.1 谓词公式的解释37

2.4.2 谓词公式的分类38

2.5 谓词演算的等价式与蕴涵式39

2.5.1 等价式39

2.5.2 蕴涵式41

2.6 谓词演算中的公式范式42

2.6.1 前束范式42

2.6.2 斯柯林范式43

2.7 谓词演算的推理理论43

2.8 典型例题分析47

习题49

第3章 集合53

3.1 集合的概念与表示法53

3.1.1 集合的概念53

3.1.2 集合的表示法53

3.1.3 集合的包含与相等54

3.1.4 空集、集族、幂集和全集55

3.1.5 有限幂集元素的编码表示56

3.2 集合的运算与性质56

3.2.1 集合的交、并和补56

3.2.2 集合的对称差58

3.2.3 集合的广义并和广义交58

3.2.4 集合的文氏图59

3.3 集合的划分与覆盖59

3.4 排列与组合61

3.4.1 加法原理与乘法原理61

3.4.2 排列61

3.4.3 组合62

3.4.4 排列与组合的生成62

3.5 归纳原理63

3.5.1 结构归纳原理63

3.5.2 数学归纳原理64

3.6 容斥原理和抽屉原理65

3.6.1 容斥原理65

3.6.2 抽屉原理（鸽巢原理）66

3.7 递推关系67

3.7.1 递推关系的概念67

3.7.2 递推关系的求解67

3.8 集合论在命题逻辑中的应用69

3.8.1 命题逻辑中的集合表示69

3.8.2 应用举例71

3.9 典型例题分析71

3.10 上机实验73

习题74

第4章 关系77

4.1 序偶与笛卡儿积77

4.1.1 序偶及有序n元组77

4.1.2 笛卡儿积77

4.2 关系及其表示79

4.2.1 关系79

4.2.2 关系矩阵与关系图81

4.3 复合关系及逆关系81

4.4 关系的性质83

4.5 关系的闭包85

4.6 等价关系和等价类90

4.7 相容关系92

4.8 偏序关系94

4.9 典型例题分析97

4.10 上机实验99

习题99

第5章 函数102

5.1 函数的概念102

5.1.1 函数定义102

5.1.2 函数性质103

5.2 逆函数和复合函数104

5.2.1 逆函数104

5.2.2 函数的复合104

5.2.3 几种特殊的函数107

5.3 集合的基数107

5.3.1 基数的概念108

5.3.2 可数集与不可数集108

5.3.3 基数的比较109

5.4 经典集合的扩展110

5.4.1 Fuzzy集110

5.4.2 Vague集111

5.4.3 Rough集112

5.5 典型例题分析113

5.6 上机实验115

习题115

第6章 整除117

6.1 因数和倍数117

6.2 素数和合数117

6.3 带余除法与辗转相除法118

6.4 最大公因数和最小公倍数119

6.5 算术基本定理121

6.6 典型例题分析122

6.7 上机实验124

习题124

第7章 同余125

7.1 同余及其性质125

7.2 剩余类和剩余系127

7.3 欧拉定理与威尔逊定理128

7.4 一次同余式130

7.5 一次同余式组132

7.6 数论在密码学中的应用133

7.6.1 仿射加密法134

7.6.2 RSA系统135

7.6.3 MH系统136

7.7 典型例题分析137

7.8 上机实验138

习题138

第8章 代数系统140

8.1 代数系统的定义140

8.2 代数系统的性质141

8.3 代数系统的同态与同构145

8.4 同余关系147

8.5 商代数与积代数148

8.6 半群和独异点149

8.6.1 半群149

8.6.2 独异点150

8.7 群与子群151

8.7.1 群151

8.7.2 元素的阶152

8.7.3 子群153

8.8 循环群和置换群154

8.8.1 循环群154

8.8.2 置换群156

8.9 陪集和正规子群159

8.9.1 陪集159

8.9.2 正规子群161

8.10 群的同态与同构162

8.11 环与域164

8.11.1 环164

8.11.2 子环与理想166

8.11.3 域166

8.11.4 环的同态与同构168

8.12 典型例题分析169

8.13 上机实验173

习题173

第9章 格与布尔代数177

9.1 格的定义与性质177

9.2 子格与格同态179

9.3 特殊的格180

9.4 布尔代数181

9.5 典型例题分析184

习题185

第10章 图186

10.1 图的基本概念186

10.1.1 图186

10.1.2 子图与补图187

10.1.3 结点的度188

10.1.4 图的同构190

10.2 路、回路与连通性191

10.3 图的矩阵表示195

10.4 欧拉图与哈密顿图198

10.4.1 欧拉图198

10.4.2 哈密顿图200

10.5 二部图与匹配202

10.6 平面图204

10.6.1 平面图的基本概念204

10.6.2 欧拉公式205

10.6.3 平面图的判定206

10.6.4 平面图的对偶图207

10.7 树及其应用208

10.7.1 无向树及生成树208

10.7.2 根树及其应用211

10.8 着色问题216

10.8.1 图中结点的着色216

10.8.2 地图的着色与平面图的点着色217

10.8.3 边着色218

10.9 最短路径和关键路径218

10.9.1 最短路径问题218

10.9.2 关键路径问题220

10.10 典型例题分析222

10.11 上机实验225

习题229

第11章 形式语言与自动机简介235

11.1 语言及其表示235

11.1.1 语言235

11.1.2 文法236

11.1.3 识别器237

11.2 正规语言与有限自动机238

11.2.1 确定的有限自动机238

11.2.2 不确定的有限自动机241

11.3 上下文无关语言与下推自动机243

11.3.1 上下文无关语言244

11.3.2 下推自动机244

11.3.3 下推自动机与上下文无关语言的关系246

11.4 图灵机247

11.4.1 图灵识别器247

11.4.2 用于计算的图灵机249

11.5 线性界限自动机250

11.6 典型例题分析250

11.7 上机实验251

习题252

第12章 纠错码简介253

12.1 纠错码的基本概念253

12.2 纠错码的纠错能力255

12.3 纠错码的选择257

12.4 群码的校正261

12.5 典型例题分析262

12.6 上机实验263

习题264

参考文献265